Ajustements, régressions (Solutions)

Nous proposons ici d'utiliser les outils d'ajustement analytique inclus dans les outils bureautique pour réaliser des régressions linéaires ou des approximations polynomiales.

La loi des gaz parfaits relie le volume, la température et la pression avec la quantité de gaz. Elle est souvent énoncée ainsi : $$PV=nRT$$ où :

• $P$ est la pression en Pascals
• $V$ est le volume en mètres-cubes
• $n$ est le nombre de moles
• $R$ est la constante des gaz parfaits : $8,314472\,J.K^{-1}.mol^{-1}$
• $T$ est la température en Kelvins

Un relevé de température et de volume, dans des conditions connues de pression, permet donc de calculer le nombre de moles de gaz ($n=PV(RT)^{-1}$). Les mesures étant entachées d'erreur, un calcul direct comme le calcul précédent n'est pas toujours satisfaisant. Nous allons voir dans la suite, à partir de plusieurs mesures de température et volume, comment réaliser une régressions linéaire avec Calc afin :

• de vérifier que le gaz en question suit effectivement la loi des gaz parfaits
• de calculer assez précisément la valeur de $n$
• d'avoir un intervalle de confiance des valeurs calculées

Un premier relevé indique que pour une température de 25°C, sous une pression de $10^5\,Pa$, le gaz occupe 26 L.

Les relevés ont été effectués à la pression de $10^5\,Pa$, en litre et en °C :

La régression linéaire est effectuée automatiquement à partir d'un graphique. La première étape est donc le tracé du graphique représentant la température en Kelvin en fonction du volume en mètres-cubes.

Calc propose plusieurs types de régressions : Linéaire, logarithmique, exponentielle… Cet outil est accessible via le menu contextuel de la courbe. Il permet d'afficher, outre la courbe de tendance, son équation, et le coefficient de détermination.

La courbe de tendance devrait passer par l'origine du repère, ce qui n'est pas exactement le cas (ce n'est qu'une courbe de tendance, et le gaz ne se comporte pas comme un gaz parfait dans toutes les conditions)¹⁾. Il peut être utile de visualiser la courbe de tendance sur une plus longue plage, de manière à estimer visuellement le passage proche de l'origine.

Reportez dans la feuille de calcul les valeurs estimées par Calc pour le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite (avec tous leurs chiffres). Ajoutez une ligne dans le tableau initial, permettant de calculer, pour les mêmes abscisses que les points de mesure, les points de la droite (notés $f_i$ un peu plus bas). Ajoutez les lignes nécessaires au calcul du coefficient de détermination. Ce coefficient vaut : $$R^2=1-\frac{Serr}{Stot}$$ Avec :

• $Stot=\sum_{i=1}^{i=n}(y_i-\bar{y})^2$ : somme des carrés des mesures centrées
• $Serr=\sum_{i=1}^{i)n}(y_i-f_i)^2$ : somme des erreurs au carré

Vérifiez votre calcul en contrôlant que le coefficient de détermination obtenu est très exactement celui annoncé par Calc sur votre courbe. Votre calcul du coefficient de détermination doit apparaître dans votre feuille de calcul.

Nous allons voir ici comment trouver l'approximation d'un jeu de données par un polynôme de degré 2. Les valeurs mesurées seront notées $y_i$ et $x_i$. Le modèle recherché sera de la forme $y=ax^2+bx+c$. Nous cherchons donc les valeurs de $a$, $b$ et $c$ de manière à ce que le polynôme de degré 2 approche au mieux le jeu de données.

L'erreur quadratique commise est : $$S=\sum_{i=0}^{i=n} (ax_i^2+bx_i+c-y_i)^2$$

L'erreur sera minimum si la dérivée de $S$ par rapport à $a$, $b$ et $c$ est nulle. On obtient ainsi 3 expressions (voici la première) : $$\frac{\partial S}{\partial a}=2\sum_{i=0}^{i=n}(ax_i^2+bx_i+c-y_i)x_i^2=0$$

En réordonnant correctement les 3 équations obtenues, on peut écrire le système matriciel suivant (l'équation précédente correspond par exemple à la ligne 1 du système suivant) :

$$\begin{pmatrix} \sum x_i^4 & \sum x_i^3 & \sum x_i^2 \\ \sum x_i^3 & \sum x_i^2 & \sum x_i^1 \\ \sum x_i^2 & \sum x_i^1 & \sum x_i^0 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum y_ix_i^2
\sum y_ix_i^1
\sum y_ix_i^0
\end{pmatrix} $$

Les coefficients du polynôme recherché sont donc ceux du vecteur : $$\begin{pmatrix} \sum x_i^4 & \sum x_i^3 & \sum x_i^2 \\ \sum x_i^3 & \sum x_i^2 & \sum x_i^1 \\ \sum x_i^2 & \sum x_i^1 & \sum x_i^0 \\ \end{pmatrix}^{-1} \times \begin{pmatrix} \sum y_ix_i^2
\sum y_ix_i^1
\sum y_ix_i^0
\end{pmatrix} $$

Le jeu de données utilisé sera :

Nous allons maintenant calculer les $x_i^4$ puis leur somme.